TD3 : Lois à densité

Exercice 1 : Échauffement¶

Soit $X$ une v.a. de loi uniforme sur $[0,1]$.

1. Donnez un exemple de construction de $X$.

2. Quelle est la probabilité que $X$ soit un rationnel ?

3. Quelle est la probabilité que le chiffre 7 apparaisse dans l’écriture décimale de $X$ ?

4. Soit $Y = \pi (X - 1/2)$. Quelle est la loi de $Y$ ?

5. Quelle est la loi de $\tan(Y)$ ?

6. Que vaut $E((\tan(Y))^2)$ ?

Exercice 2 : Rapport aléatoire¶

Soit $X$ une v.a. qui suit la loi uniforme sur $[0,1]$. Soit $U$ la longueur du plus petit intervalle parmi $[0,X]$ et $[X,1]$, et soit $V$ la longueur du plus grand des deux.

1. Quelle est la loi de $U$ ? Et celle de $V$ ?

2. Calculez $E(U)$ et $E(V)$, puis $E(V)/E(U)$.

3. Quelle est la loi du rapport $V/U$ ?

4. Calculez l’espérance de $V/U$.

Exercice 3 : Transformations d’exponentielles¶

Soit $X$ une v.a. de loi exponentielle de paramètre $\lambda$.

1. Quelle est la loi de $\exp(-\lambda X)$ ?

2. Quelle est la loi de $\sqrt{2\lambda X}$ ?

3. Comment pouvons-nous retrouver la loi normale à partir de $X$ ?

Exercice 4 : Transformations d’uniformes¶

Soit $U$ une v.a. de loi uniforme sur $[0,1]$.

1. Quelle est la loi de $-\frac{1}{\lambda}\ln(U)$ ?

2. Quelle est la loi de $\sqrt{U}$ ?

3. Soit $p \in [0,1]$. Quelle est la loi de $\mathbf{1}_{\{U < p\}}$ ?

Exercice 5 : Moments¶

Soit $X$ une v.a. dont la loi admet une densité $f$. Soit $k \geq 1$ et supposons que $X^k$ est intégrable.

1. Exprimez $E(X^k)$, le moment d’ordre $k$ de $X$, à l’aide d’une intégrale faisant intervenir sa densité.

2. Même question pour $E((X - E(X))^k)$, le moment centré d’ordre $k$ de $X$.

3. Nous considérons les trois lois classiques :

   • la loi uniforme sur $[a,b]$ notée $\mathcal{U}(a,b)$,

   • la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ notée $\mathrm{Exp}(\lambda)$,

   • la loi normale $\mathcal{N}(m,\sigma^2)$ de paramètres $m$ et $\sigma^2$.

   Pour chacune de ces trois lois, calculez le moment d’ordre $k$, ainsi que le moment centré d’ordre $k$.

Exercice 6 : Loi Gamma¶

La loi Gamma $G(a,\lambda)$ de paramètres $a > 0$ et $\lambda > 0$ est la loi de densité :

où $C$ est une constante.

1. Déterminer la valeur de $C$.

2. Quelle est la loi $G(1,\lambda)$ ?

3. Soit $Z$ une v.a. de loi $G(a,1)$, et soit $\lambda > 0$. Quelle est la loi de $X = Z/\lambda$ ?

4. Calculer la moyenne et la variance de $Z$.

Exercice 7 : La fonction muette, justification¶

Soient $\mu$ et $\nu$ deux mesures de probabilité sur $\mathbb{R}$. Supposons que, pour toute fonction continue bornée $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$,

1. Soit $[a,b]$ un intervalle de $\mathbb{R}$ et soit $\delta > 0$.

   1. Construisez une fonction continue $f : \mathbb{R} \to [0,1]$, définie par morceaux, qui satisfait :

      $$\forall x \in \mathbb{R}, \quad \mathbf{1}_{[a,b]}(x) \leq f(x) \leq \mathbf{1}_{[a-\delta, \, b+\delta]}(x).$$

      (3)

   2. Montrez que

      $$\mu([a,b]) \leq \nu([a-\delta, \, b+\delta]).$$

      (4)

   3. En déduire que

      $$\mu([a,b]) \leq \nu([a,b]),$$

      (5)

      puis que $\mu([a,b]) = \nu([a,b])$.

2. Notons $\mathcal{A}$ la collection suivante :

   $$\mathcal{A} = \{ B \in \mathcal{B}(\mathbb{R}) : \mu(B) = \nu(B) \}.$$

   (6)

   1. Montrez que $\mathcal{A}$ est stable par différence propre :

      $$\forall A,B \in \mathcal{A}, \, A \subset B \quad \Rightarrow \quad B \setminus A \in \mathcal{A}.$$

      (7)

   2. Montrez que $\mathcal{A}$ est stable par limite croissante : si $(A_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite croissante d’éléments de $\mathcal{A}$, alors $\bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n$ est encore dans $\mathcal{A}$.

   3. Montrez que $\mathcal{A}$ est une tribu.

3. Conclure finalement que $\mu = \nu$.