Exercice 1 : La méthode probabiliste.¶

Notons $|\cdot|_2$ est la norme euclidienne usuelle dans $\mathbb{R}^d$. Soient $u_1, \ldots, u_n$ des vecteurs de $\mathbb{R}^d$ de norme 1. Montrer qu’il existe $\epsilon_1, \ldots, \epsilon_n$ dans $\{-1,+1\}$ tels que

Exercice 2 : Tribus engendrées par des v.a.¶

Expliciter $\sigma(X)$ et la loi de $X$ dans les cas suivants :

a)¶

$(\Omega,\mathcal{F},P)$ est un espace de probabilité, $A,B$ sont deux événements de $\mathcal{F}$, $a,b$ deux nombres réels et

b)¶

$(\Omega,\mathcal{F},P) = ([0,1],\mathcal{B}([0,1]),\lambda)$ et

c)¶

$(\Omega,\mathcal{F},P) = ([-1,1],\mathcal{B}([-1,1]),\lambda/2)$ et

Exercice 3 : Premiers calculs gaussiens.¶

0)¶

Rappeler la densité de la loi gaussienne $\mathcal{N}(m,\sigma^2)$.

Soit $X$ une v.a. de loi $\mathcal{N}(0,1)$.

1)¶

Quelle est la moyenne de $X$ ? Et sa variance ?

2a)¶

Quelle est la loi de $m + \sigma X$ ?

2b)¶

En déduire la moyenne et la variance de $\mathcal{N}(m,\sigma^2)$.

Soit $Y$ une v.a. de loi $\mathcal{N}(0,1)$, indépendante de $X$.

3)¶

Calculer la loi de $Z = Y/X$, puis de $1/Z$.

4)¶

Soit $R = \sqrt{X^2 + Y^2}$ et $S = X/R$.

• Calculer la loi du couple $(R^2,S)$.

• En déduire la loi de $R^2$ ainsi que la loi de $S$.

5)¶

Soient $U$ et $V$ deux v.a. i.i.d. uniformes sur $[0,1]$.

• Montrer que $\tilde{R} = \sqrt{-2\ln U}$ a même loi que $R$.

• Montrer que $(\tilde{X},\tilde{Y}) = (\tilde{R}\cos(2\pi V), \tilde{R}\sin(2\pi V))$ a même loi que $(X,Y)$.

• Calculez la loi du couple $(\tilde{X},\tilde{Y})$.

Exercice 4 : La loi Beta.¶

Soient $a,b > 0$. La loi Gamma $G(a)$ est la loi de densité

La loi Beta $\beta(a,b)$ est la loi de densité

1)¶

Soient $Y_a$ et $Y_b$ deux variables aléatoires indépendantes, de lois respectives $G(a)$ et $G(b)$. Montrer que $\beta(a,b)$ est la loi de $U = Y_a / (Y_a + Y_b)$.

2)¶

Calculer la moyenne et la variance de $U$.

Exercice 5 : Une identité entre lois.¶

Soit $U$ une variable aléatoire de loi $\beta(a,1-a)$, où $a \in ]0,1[$ (la loi Beta est définie dans l’exercice précédent). Soit $Z$ une variable aléatoire de loi exponentielle $\text{Exp}(1)$, et qui est indépendante de $U$.

Montrer que $X = UZ$ suit la loi Gamma $\mathcal{G}(a)$.

Exercice 6 : Étude d’un vecteur aléatoire.¶

Soit $Z = (X,Y)$ un vecteur aléatoire de $\mathbb{R}^2$.

1. Rappeler ce qu’est la loi de $Z$.

2. On suppose que la loi de $Z$ admet comme densité par rapport à la mesure de Lebesgue de $\mathbb{R}^2$ la fonction

   $$f(x,y) = \frac{4}{\pi \sigma^2} \exp\!\left(-\frac{x^2+y^2}{\sigma^2}\right)\mathbf{1}_{\{x \geq |y|\}}$$

   (7)

   où $\sigma$ est un paramètre strictement positif.

   1. Vérifier que $f$ est bien une densité de probabilité.

   2. Les variables $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes ?

   3. Calculer la loi de $(X-Y, X+Y)$.

   4. Montrer que $X-Y$ et $X+Y$ sont indépendantes.

Exercice 7 : Densité jointe et indépendance.¶

Soit $Z = (X,Y)$ un vecteur aléatoire à valeurs dans $\mathbb{R}^2$, admettant une densité $f : \mathbb{R}^2 \to [0,+\infty[$ par rapport à la mesure de Lebesgue, i.e.,

Nous définissons les fonctions $f_X$ et $f_Y$ par

1. Montrer que la loi marginale de $X$ (respectivement $Y$) admet pour densité $f_X$ (respectivement $f_Y$).

2. Rappeler la définition initiale de l’indépendance pour deux v.a. $X$ et $Y$.

3. Montrer que, si $X$ et $Y$ sont indépendantes, alors, en dehors d’un ensemble de mesure de Lebesgue nulle, la densité jointe $f(x,y)$ vérifie

   $$f(x,y) = f_X(x) f_Y(y).$$

   (10)

4. Supposons qu’il existe deux fonctions boréliennes positives $g,h$ telles que

   $$\forall x,y \in \mathbb{R}, \quad f(x,y) = g(x)h(y).$$

   (11)

   Montrer qu’alors $X$ et $Y$ sont indépendantes.

5. Donner une caractérisation des lois de vecteurs dans $\mathbb{R}^2$ qui admettent une densité et dont les deux composantes sont indépendantes.