DM2 - A rendre en TD mardi 30/9 ou vendredi 3/10

Problème : Les statistiques d’ordre. Soit $n \geq 1$ un entier fixé. Étant donné un $n$-uplet $(x_1, \dots, x_n)$ de nombres réels, nous le réordonnons pour obtenir le $n$-uplet $(x_{(1)}, \dots, x_{(n)})$ vérifiant

0) Que se passe-t-il si $x_1, \dots, x_n$ ne sont pas distincts ? Que valent $x_{(1)}$ et $x_{(n)}$ ?

Partie I : Résultats généraux¶

Soit $\mu$ une loi de probabilité sur $\mathbb{R}$ qui est à densité, et soit $f$ une densité de $\mu$. Soit $X_1, \dots, X_n$ un échantillon de loi $\mu$, i.e., $X_1, \dots, X_n$ sont $n$ variables aléatoires définies sur un même espace de probabilité $(\Omega, \mathscr{F}, \mathbb{P})$, qui sont i.i.d. de loi $\mu$. Nous notons alors $(X_{(1)}, \dots, X_{(n)})$ le $n$-uplet obtenu en réordonnant $(X_1, \dots, X_n)$. La variable $X_{(k)}$ est appelée la $k$-ième statistique d’ordre d’un échantillon $X_1, \dots, X_n$.

1) Quelle est la probabilité pour que deux v.a. parmi $X_1, \dots, X_n$ soient égales ?

2) Notons $\mathfrak{S}_n$ le groupe symétrique des permutations de $\{1, \dots, n\}$. Montrez qu’avec probabilité 1, il existe une unique permutation $\Sigma \in \mathfrak{S}_n$ telle que

3) La permutation $\Sigma$ définie en 2) est un élément aléatoire de $\mathfrak{S}_n$. Quelle est sa loi ?

4) Soit $\phi$ une fonction continue bornée de $\mathbb{R}^n$ dans $\mathbb{R}$.

• Montrez que

  $$\phi(X_{(1)}, \dots, X_{(n)}) = \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} \phi(X_{\sigma(1)}, \dots, X_{\sigma(n)}) \, 1_{\{ \Sigma = \sigma \}}.$$

  (3)

• Montrez que, pour tout $\sigma$ dans $\mathfrak{S}_n$, $X_{\sigma(1)}, \dots, X_{\sigma(n)}$ est un échantillon de loi $\mu$ et que

  $$\mathbb{E}\!\left(\phi(X_{(1)}, \dots, X_{(n)}) \, 1_{\{ \Sigma = \sigma \}}\right) = \mathbb{E}\!\left( \phi(X_1, \dots, X_n) \, 1_{\{ X_1 < \cdots < X_n \}} \right).$$

  (4)

• Conclure finalement que

  $$\mathbb{E}(\phi(X_{(1)}, \dots, X_{(n)})) = n! \int_{\mathbb{R}^n} \phi(x_1, \dots, x_n) \, 1_{\{x_1 < \cdots < x_n\}} f(x_1) \cdots f(x_n) \, d\lambda(x_1) \cdots d\lambda(x_n).$$

  (5)

5) Soit $g$ une fonction continue bornée de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$. En appliquant la question 4) avec une fonction $\phi$ bien choisie, montrez que, pour tout $1 \leq k \leq n$,

En déduire que la loi de $X_{(k)}$ admet une densité que l’on explicitera.

Anytime you have a 50-50 shot at getting something right,
there’s a 90% probability you’ll get it wrong. Andy Rooney

Partie II : Loi uniforme¶

Dans toute cette partie, nous considérons le cas de la loi uniforme sur $[0,1]$. La loi $\mu$ est donc la mesure de Lebesgue $\lambda$ restreinte à l’intervalle $[0,1]$.

1. Quelle est la loi de $X_{(1)}$ ?

2. Quelle est la loi de $X_{(2)} - X_{(1)}$ ?

3. Les variables $X_{(1)}$ et $X_{(2)}$ sont-elles indépendantes ?

4. Les variables $X_{(1)}$ et $X_{(2)} - X_{(1)}$ sont-elles indépendantes ?

5. Quelle est la densité de $X_{(k)}$ pour $1 \leq k \leq n$ ?

6. Calculez l’espérance de $X_{(k)}$ pour $1 \leq k \leq n$.

7. Calculez la limite de $P(nX_{(1)} \geq t)$ lorsque $n \to \infty$. Si $nX_{(1)}$ admet une loi limite, quelle serait-elle ?

8. Reprenez la question 12) mais avec $X_{(2)}$, puis avec $\overline{X_{(k)}}$.

Partie III : Loi exponentielle¶

Dans toute cette partie, nous considérons le cas de la loi exponentielle. La loi $\mu$ est donc la loi exponentielle de paramètre $\alpha$.

1. Quelle est la densité de $X_{(k)}$ pour $1 \leq k \leq n$ ?

2. Calculez l’espérance de $X_{(k)}$ pour $1 \leq k \leq n$ ?

3. Quelle est la loi de $X_{(1)}$ ?

4. Quelle est la loi de $X_{(2)} - X_{(1)}$ ?

5. Montrez que les variables $X_{(1)}$ et $X_{(2)} - X_{(1)}$ sont indépendantes.

6. Montrez que les variables $X_{(1)}, X_{(2)} - X_{(1)}, \dots, X_{(n)} - X_{(n-1)}$ sont indépendantes.