Explication intuitive de la preuve du théorème de convergence monotone¶

Objectif (à corriger en premier)¶

On vous donne :

• un ensemble mesurable $X \subset \mathbb{R}$,

• une suite non décroissante de fonctions mesurables $f_n \ge 0$,

• leur limite ponctuelle $f = \lim_{n \to \infty} f_n$.

On veut prouver :

Ceci se divise en deux inégalités :

1. $\displaystyle \lim \int f_n \le \int f$ (facile)

2. $\displaystyle \int f \le \lim \int f_n$ (difficile)

Tout ce qui suit concerne (2).

Étape 1 — L’inégalité simple¶

Puisque la suite est croissante :

Par monotonie de l’intégrale :

Ainsi, la suite $\left( \int f_n \right)$ est croissante et majorée. Par conséquent, la limite

existe et satisfait :

Cette partie est simple. Maintenant, oublions cela — la difficulté est l’inégalité inverse.

Étape 2 — Stratégie pour l’inégalité difficile¶

Vous voulez prouver :

Idée clé :

Ne comparez pas $f$ directement à $f_n$. Comparez des morceaux simples de $f$ à $f_n$.

Cela fonctionne parce que l’intégrale de Lebesgue est définie par le bas.

Étape 3 — Fixons une fonction simple inférieure à $f$¶

Prenons n’importe quelle fonction simple positive :

Pourquoi ce choix ?

Parce que par définition :

Il suffit donc de prouver :

Étape 4 — Pourquoi introduire $\alpha \in (0,1)$¶

Problème: Même si $\varphi(x) \le f(x)$, il n’est pas vrai que

Solution: Assouplir la comparaison.

Au lieu d’imposer:

on essaie:

Pourquoi cela aide:

Pour tout $x$,

et puisque $f_n(x) \uparrow f(x)$, l’inégalité

finira par être vérifiée.

C’est le moteur de la preuve.

Étape 5 — Définir les ensembles $E_n$¶

Définir :

Interprétation :

$E_n$ est l’ensemble des points où $f_n$ est déjà suffisamment grand.

Propriétés clés :

1. Mesurable — car $\varphi$ et $f_n$ sont mesurables.

2. Croissant — parce que $f_n \le f_{n+1}$.

3. Épuise l’espace :

   $$E_n \uparrow X.$$

   (16)

Pourquoi $E_n \uparrow X$ ?

Fixons $x \in X$.

• $\varphi(x) \le f(x)$

• donc $\alpha \varphi(x) < f(x)$

• il existe donc $N$ tel que pour tout $n \ge N$,

  $$f_n(x) > \alpha \varphi(x),$$

  (17)

• donc $x \in E_n$.

Ainsi, tout point appartient finalement à un certain $E_n$.

Étape 6 — Restreindre $\varphi$ à $E_n$¶

Sur l’ensemble $E_n$, nous avons :

En dehors de $E_n$, peu nous importe.

Nous considérons donc :

Pourquoi ?

• toujours une fonction simple,

• croît vers $\varphi$,

• dominée par $f_n$ (à un facteur $\alpha$ près).

Étape 7 — Intégrer $\varphi \mathbf{1}_{E_n}$¶

Calculer :

Maintenant :

• $E_n \uparrow X$,

• donc $A_j \cap E_n \uparrow A_j$,

• et la mesure de Lebesgue est continue par en dessous.

Par conséquent :

d’où :

Étape 8 — L’inégalité clé¶

Sur $E_n$ :

Intégrons :

Soit $n \to \infty$ :

• membre de gauche → $\alpha \int \varphi$,

• membre de droite → $L$.

Donc :

Puisque cela est valable pour tout $\alpha \in (0,1)$, prenons $\alpha \to 1$ :

Étape 9 — Conclusion finale¶

Vous avez montré :

En prenant le supremum sur toutes ces $\varphi$ :

Combiné avec la première inégalité :

vous concluez :

Liste de contrôle de la reconstruction mentale (à mémoriser)¶

Si vous ne retenez que cela, vous pourrez tout redémontrer :

1. Fixer une simple $\varphi \le f$

2. Fixer $\alpha < 1$

3. Définir $E_n = \{ \alpha \varphi \le f_n \}$

4. Observer $E_n \uparrow X$

5. Utiliser la continuité de la mesure sur $\varphi \mathbf{1}_{E_n}$

6. Comparer $\alpha \varphi$ avec $f_n$

7. Soit $n \to \infty$, puis $\alpha \to 1$

8. Prendre le supremum sur $\varphi$

Si vous pouvez reproduire ces étapes sans notes, vous maîtrisez pleinement le Théorème de convergence monotone.