Fiches memoire

Soit $\mu$ une probabilité sur $\mathbb{R}$ qui admet un moment d’ordre 1, et posons

Pour $n \ge 1$, soient $X_1, \ldots, X_n$ v.a. i.i.d.\ de loi $\mu$. Alors, pour tout $\varepsilon > 0$,

Soient $X,\, X_n,\, n \in \mathbb{N}$, des variables aléatoires réelles (qui ne sont pas nécessairement définies sur le même espace de probabilité).

La suite $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge en loi vers $X$, ce que l’on note $X_n \xrightarrow{\mathcal{L}} X$, ssi, pour toute fonction continue bornée $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$,

Soit $\mathcal{M}_1(\mathbb{R})$ l’ensemble des mesures de probabilités sur $(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}))$.

L’application

est injective.

Soit $(X_n)_{n\ge 1}$ une suite de v.a. i.i.d. intégrables, c’est-à-dire

Alors

Soit $(X_n)_{n\ge 1}$ une suite de v.a. i.i.d. qui admettent un moment d’ordre 2.
Posons

Alors

Soient $X, X_n, n \in \mathbb{N}$, des variables aléatoires réelles et $\varphi_X, \varphi_{X_n}, n \in \mathbb{N}$, leurs fonctions caractéristiques. Il y a équivalence entre :

1. La suite $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge en loi vers $X$ ;

2. Pour tout $u \in \mathbb{R}$,

   $$\lim_{n \to \infty} \varphi_{X_n}(u) = \varphi_X(u).$$

   (9)

Soit $n \ge 1$ \text{et} $\lambda \ge 0$. Soient $X^{(n)}_1, \ldots, X^{(n)}_n$ des v.a. i.i.d. qui suivent la loi de Bernoulli de paramètre $\lambda/n$ sur $\{0,1\}$. Posons

La loi de $N_n$ est la loi binomiale $B(n, \lambda/n)$, elle converge quand $n \to \infty$ vers $\mathcal{P}(\lambda)$, i.e.,

Soient $\lambda \ge 0$ et $(Y_n)_{n \ge 1}$ une suite de v.a. i.i.d. qui suivent la loi $\mathrm{Exp}(\lambda)$. Posons $S_0 = 0$ et, $\forall n \ge 1$,

Le processus de Poisson de paramètre (\lambda) est la fonction aléatoire définie par

Soit $X$ une variable aléatoire définie sur un espace de probabilité $(\Omega, \mathcal{F}, P)$. La loi de $X$ est la probabilité sur $(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}))$ donnée par :

La loi de $X$ est notée $P_X$.

Soit $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de v.a.\ indépendantes définies sur $(\Omega, \mathcal{F}, P)$. Soit $A$ un événement asymptotique pour la suite de v.a.\ $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$. Alors $P(A)$ vaut 0 ou 1.

Soit $(A_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite d’événements de $\mathcal{F}$.

Partie I : Si la série $\sum_{n} P(A_n)$ converge, alors

Partie II : Si la série $\sum_{n} P(A_n)$ diverge, et si les événements $(A_n)_{n\in\mathbb{N}}$ sont indépendants, alors

Soient $\mathcal{F}_1, \ldots, \mathcal{F}_n$ $n$ sous-tribus de $\mathcal{F}$ qui sont indépendantes. Soient $I, J$ deux parties disjointes de $\{1, \ldots, n\}$. Alors les tribus

sont indépendantes.

Soit $n \ge 2$. Les $n$ événements $A_1,\ldots,A_n$ de $\mathcal{F}$ sont dits indépendants si, pour toute partie $I$ de $\{1,\ldots,n\}$,

Les $n$ variables aléatoires $X_1,\ldots,X_n$ de $\Omega$ dans $\mathbb{R}$ sont dites indépendantes si, pour tous boréliens $B_1,\ldots,B_n$ de $\mathbb{R}$,

Les $n$ sous-tribus $\mathcal{F}_1,\ldots,\mathcal{F}_n$ de $\mathcal{F}$ sont dites indépendantes si

La suite $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge presque sûrement vers $X$, ce que l’on note

ssi

Soit $r \ge 1$. La suite $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge vers $X$ dans $L^r(\Omega, P)$, ce que l’on note

ssi

La suite $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge vers $X$ en probabilité, ce que l’on note

ssi pour tout $\varepsilon > 0$,

Soient une v.a.\ $X : (\Omega, \mathcal{F}, P) \rightarrow (\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}))$ et
$f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction borélienne bornée.
Alors

La mesure de Lebesgue est l’unique mesure $\lambda$ sur $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ qui vérifie :